Зависимость между напряжениями и внутренними усилиями. Напряжения

Классификация сил

Силы делятся на внешние и внутренние. Внешние силы характеризуют взаимодействие между телами, внутренние – взаимодействие между частицами одного тела.

Внешние силы, действующие на элементы конструкций, делятся на активные , называемые нагрузкой, и реактивные (реакции связей). Нагрузка подразделяется на поверхностную и объемную. К поверхностной нагрузке относятся силы контакта, возникающие при сопряжении двух элементов конструкции или при их взаимодействии; к объемным (массовым) силам – силы, действующие на каждый бесконечно малый элемент объема. Примерами объемных сил являются силы инерции, силы тяжести, силы магнитного взаимодействия.

По характеру действия на конструкцию различают нагрузку:

• статическую – изменяется медленно и плавно от нуля до конечного значения так, что ускорения точек системы, возникающие при этом, весьма малы, поэтому силами инерции по сравнению с нагрузкой можно пренебречь;
• динамическую – прикладывается к телу за малый промежуток времени или мгновенно с образованием значительных ускорений;
• повторно-переменную – изменяющуюся по произвольному периодическому закону.

Внутренние силовые факторы (метод сечений)

Пусть свободное тело под действием системы сил находится в равновесии (рис. 2.1). Требуется определить внутренние силы в сечении . Мысленно разрежем тело на две части по данному сечению и рассмотрим условия равновесия одной (любой) части тела. Обе части после разреза, вообще говоря, не будут находиться в равновесии, так как нарушены внутренние связи. Заменим действие левой части тела на правую и правой на левую некоторой системой сил в сечении , т.е. внутренними силами (рис. 2.2). Характер распределения внутренних сил в сечении неизвестен, но они должны обеспечить равновесие каждой части тела. Для составления условия равновесия отсеченной части приведем внутренние силы в виде главного вектора и главного момента к центру тяжести сечения и спроецируем их на оси координат (рис. 2.3). Получим три проекции главного вектора и три проекции главного момента которые называются внутренними силовыми факторами: – продольная сила; – поперечные силы; – крутящий момент; – изгибающие моменты.

Составив условия равновесия отсеченной части, получим

(2.1)

Уравнения (2.1) называются зависимостью между внешней нагрузкой на отсеченной части и внутренними силовыми факторами (статическими эквивалентами внутренних

Рис. 2.1

Рис. 2.2

сил). Если внешние нагрузки известны, то с их помощью можно определить внутренние силовые факторы.

Различают следующие основные виды деформаций:

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Понятие о напряжении

Согласно гипотезе 1 (см. п. 2.1.1) можно предположить, что внутренние силы непрерывно распределены по площади поперечного сечения бруса. Пусть на малую, но конечную площадку А (рис. 2.5) действует внутренняя элементарная сила R. Разложив R на составляющие по осям получим ее компоненты Отношение вида

определяет среднее напряжение на данной площадке в данной точке.

Полное, или истинное, напряжение в точке есть отношение

которое определяет интенсивность внутренних сил в данной точке рассматриваемого сечения. Поскольку через точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, то в данной точке имеется бесчисленное множество напряжений, связанных с площадками действия. Совокупность всех напряжений, действующих на разных площадках в данной точке, называется напряженным состоянием точки . Единица напряжения – Н/м2 или Па. По аналогии с выражением (2.3) можно записать:

Выражение (2.4) определяет нормальное напряжение σ x (рис. 2.6), вектор которого направлен так же, как и вектор нормальной силы Ν x. Выражения (2.5) и (2.6) определяют касательные напряжения ; их векторы имеют те же направления, что и, соответственно, и. Первый индекс при τ указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, второй индекс показывает, какой оси параллельно данное напряжение.

Зависимость между полным напряжением К и его составляющими выражается формулой

Рассмотрим связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил будут иметь следующий вид.

Соглашение об использовании материалов сайта

Просим использовать работы, опубликованные на сайте , исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Понятие растяжения как вида нагружения, особенности действия сил и основные характеристики. Различия между сжатием и растяжением. Сущность напряжения, возникающего в поперечном сечении растянутого стержня, понятие относительного удлинения стержня.

реферат , добавлен 23.06.2010


Потенциальная энергия заряда в однородном поле и потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Понятие разности потенциалов. Связь напряжения и напряженности. Принцип суперпозиции для потенциалов. Понятие эквипотенциальных поверхностей.

контрольная работа , добавлен 06.10.2013


Общая характеристика сопротивления материалов. Анализ прочности, жесткости, устойчивости. Сущность схематизации геометрии реального объекта. Брус, оболочка, пластина, массив как отдельные тела простой геометрической формы. Особенности напряжения.

презентация , добавлен 22.11.2012


Определение размеров поперечных сечений стержней, моделирующих конструкцию робота-манипулятора. Вычисление деформации элементов конструкции, линейного и углового перемещения захвата. Построение матрицы податливости системы с помощью интеграла Мора.

курсовая работа , добавлен 05.04.2013


Вычисление реакций опор в рамах и балках с буквенными и числовыми обозначениями нагрузки. Подобор номеров двутавровых сечений. Проведение расчета поперечных сил и изгибающих моментов. Построение эпюр внутренних усилий. Определение перемещения точек.

курсовая работа , добавлен 05.01.2015


Теорема о циркуляции вектора. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия. Разность потенциалов, связь между ними и напряженностью. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Расчет потенциалов простейших электростатических полей.

презентация , добавлен 13.02.2016


Энергия ветра и возможности её использовании. Работа поверхности при действии на нее силы ветра. Работа ветрового колеса крыльчатого ветродвигателя. Перспективы развития ветроэнергетики в Казахстане. Преимущества и недостатки систем ветродвигателей.

реферат , добавлен 27.10.2014


Задача сопротивления материалов как науки об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций. Внешние силы и перемещения. Классификация нагрузки по характеру действия. Понятие расчетной схемы, схематизация нагрузок.

Внутренние силы определяются методом сечений . Для демонстрации этого метода рассмотрим тело, находящееся в равновесии (рис.1.4).



Мысленно проводим сечение некоторой плоскостью в месте, где необходимо определить внутренние усилия. Так как связи между частицами устранены, то необходимо действие правой части на левую и левой на правую заменить системой сил в сечении. Ими и являются внутренние силы, которые по принципу действия и противодействия всегда взаимны. Независимо от того, как эти силы распределены по сечению, они приводятся к центру тяжести сечения в виде главного вектора внутренних сил и главного момента внутренних сил
. Определяются они из уравнений равновесия оставленной в рассмотрении безразлично какой части элемента (в данном случае левой). Для составления уравнений равновесия в сечении выбирают систему координат, и вектора и раскладываются по этим осям на шесть составляющих: три силы (продольное внутреннее усилие
и поперечные усилия , ) и три момента (крутящий момент
и изгибающие моменты
,
), которые определяются из шести уравнений равновесия (рис. 1.5).

Таким образом, при помощи метода сечений можно определить не закон распределения внутренних усилий по сечению, а только их равнодействующие. Для решения задач прочности нужно знать характер распределения сил по сечению, т.е. ввести числовую меру. За такую меру принимается напряжение.
^

1.6 Напряжения. Связь напряжений с внутренними силовыми факторами. Принцип Сен-Венана


Напряжения – интенсивность действия усилий в данной точке или внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади

Если выделить малую площадку
в сечении и обозначить внутреннее усилие, действующее на нее
(рис. 1.6), вектор полного напряжения в точке тела будет определяться формулой

, (1.1)

Задается вектор полного напряжения своими проекциями на оси
, , . Для этого обозначим проекции вектора на оси
,
,
(рис. 1.7) и найдем соответствующие проекции полного напряжения:

Нормальное напряжение

, (1.2)

Рис. 1.7 - касательное напряжение вдоль оси

, (1.3)

Касательное напряжение вдоль оси

. (1.4)

Если закон распределения напряжений по сечению известен, то с помощью формул (1.2) – (1.4) и рисунков (1.8), (1.5) можно получить обратную связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами

, (1.5)
Напряжения, вызванные локальной нагрузкой в точках тела, достаточно удаленных от места приложения к нему этой нагрузки, мало зависят от конкретного характера распределения нагрузки, а определяются только ее главным вектором и моментом.

Нагрузка называется локальной, если размеры площадки, к которой она приложена, малы по сравнению с размерами тела.

Внутренние силы так же, как и внешние нагрузки, рас­преде­лен­ные по поверхности, характеризуются интенсивностью (рис. 2.1), которая рав­­на



а ) б )



Интенсивность нормальных сил - нормальные на­п­ря­­­­­­же­ния, вызывающие отрыв (сжатие) частиц (размернос­ть).

Интенсивность касательных сил - касательные нап­­ря­же­­ния, вызывающие сдвиг (размерность).

Нормальные и касательные напряжения являются составляющими полного на­п­­­­­ря­­жения в точке по данному сечению, величина которого вычисляется по формуле.

Величины нормальных и касательных напряжений в каждой точ­ке элемента зависят от направления сечения, проходящего через эту точку.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действу­ю­щих по различным площадкам, проходящим через рас­смат­ри­вае­мую точ­ку, представляют собой напряженное состояние в этой точ­ке.

2.2. Связь между напряжениями и внутренними усилиями

Рассмотрим элементарную площад­ку dF поперечного сеченияF (сечения, нормального к осиx ) бру­са с дей­­ст­ву­ю­щи­ми по этой пло­щад­ке нор­ма­льнымии каса­те­ль­ны­минап­ря­жения­ми (рис. 2.2). Раз­­ло­­­жим нап­­­ряже­нияна состав­ля­ю­щиеи, па­рал­лель­­ные со­от­­вет­ст­венно осямy иz . На пло­щад­кудействуют эле­мен­тарные силы,,, па­рал­лель­ные со­­от­ветственно осямx , y иz . Про­ек­­ции всех элемен­тарных сил (дей­ству­ю­щих на всех элементарных пло­щад­кахdF сеченияF ) на осиx , y иz и их мо­мен­ты относительно этих осей оп­ре­­деляются вы­ра­же­ниями



Рис. 2.2

В левых частях выражений (2.1) указаны внутренние усилия, дей­ст­ву­ющие в поперечном сечении бруса и приведенные к точке пере­се­че­ния оси x и поперечного сечения. А именно:N - про­доль­ная сила;и- поперечные силы, параллельные соот­вет­с­т­венно осямy иz ;- кру­­тя­щий момент;- изгибающий момент относительно осиy (дей­ст­­ву­ю­щий в плоскостиxz );- изги­ба­ю­щий момент от­но­си­те­льно осиz (дей­ст­ву­ю­щий в плоскостиxy ).

2.3. Виды напряженного состояния

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действу­ю­­щих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точ­ку, на­зы­вается напряженным состоянием в этой точке.

Различают следующие виды напряженного состояния:

а) пространственное (трехосное) напряженное состояние (рис. 2.3, а ), когда через рассматриваемую точку тела нельзя провести ни одной пло­щад­ки, в которой касательные и нормальные напряжения были бы равны нулю;

б) плоское (двухосное) напряженное состояние (рис. 2.3, б ), ког­да в од­ной (и только одной) площадке, проходящей через рассматри­ва­е­мую точ­ку тела, касательные и нормальные напряжения равны ну­лю;

в) линейное (одноосное) напряженное состояние (рис. 2.3, в ), ког­да ка­са­те­ль­ные и нормальные напряжения в двух площадках, про­хо­дящих через рассматриваемую точку тела, равны нулю.

а )б )в )



2.4. Плоское напряженное состояние

При плоском напряженном состоянии, как отмечалось выше, в од­ной из площадок, про­ходящих через рассматриваемую точку, каса­тель­ные и нор­маль­ные напряжения равны нулю.

Выделим из тела в окрестности этой точки бесконечно малую (эле­мен­­­тарную) треугольную призму и сов­мес­тим эту площадку с плос­ко­с-тью чертежа. Индекс у нормальных и касательных напряжений (рис.2.4, а ) указывает на направление их действия. Например,- напряжение, дей­ст­вующее на площадке, перпендикулярной осиx , в направлении осиx .

Нормальные напряжения по боковой грани призмы, наклонен­ной под углом к грани, по которой действуют нап­ря­же­ния, обозначим, а касательные напряжения по этой гра­­ни.

а )б )



Умножив каждое из действующих напряжений (рис. 2.4, а ) на пло­­­­щадь грани, по которой оно действует, получим систему сос­ре­до­то­­чен­ных сил, приложенных в центрах тяжести соответствующих гра­­ней (рис. 2.4,б ):

В силу того, что выделенный элемент находится в равновесии, для не­­го спра­вед­­ливы следующие уравнения статики:

.

Подставив в последнее уравнение выражения для сил ииз (2.2), по­лу­чим

,

Выражение (2.4) представляет собой математическую запись за­ко­на парности касательных напряжений, который гласит, что касатель­ные нап­ря­жения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, пер­пен­­ди­ку­ляр­ные к их общему ребру, равны по абсолютной величине и направлены либо оба к ребру, либо оба от ребра (рис. 2.5).



Первые два уравнения из (2.3) с учетом выражений для усилий из (2.2) принимают вид:

Учитывая, что , сократим данные уравнения на про­изведение. В результате получим:

Используя закон парности касательных напряжений (2.4), полу­чим:

.

При выводе формул (2.5), (2.6) учтена тригоно­мет­ри­чес­кая за­ви­си­­мо­с­ть .

Формулы (2.5), (2.6) позволяют определять значения нормаль­ных и касательных напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения ив любых двух про­хо­дя­щих через нее взаимно перпендикулярных пло­ща­д­ках.

По формуле (2.5) вычислим сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках, для одной из которых угол ра­вен, а для другой:

Таким образом, сумма величин нормальных напряжений в двух вза­им­но перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Сле­до­ва­те­льно, если в одной из таких площадок нормальные нап­ря­же­ния имеют максимальное значение, то в другой - ми­ни­ма­льное.

При выводе формулы (2.7) были использованы следующие три­го­­но­­мет­­рические зависимости.

НАГРУЗКИ

Рассмотрим балку, находящуюся под действием плоской системы сил (рис. 12.7). Двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстоянии друг от друга, выделим из балки элемент так, чтобы на него не действовали внешние сосредоточенные силы и моменты.

На левый торец элемента действуют внутренние усилия М и Q (рис. 13.7), а на правый Здесь представляют собой приращения величин внутренних усилий на участке балки. Кроме того, на элемент действует распределенная нагрузка, перпендикулярная к оси балки; интенсивность ее у левого конца элемента равна q, а у правого (рис. 13.7) .



Так как вся балка в целом находится в равновесии, то в равновесии находится и ее элемент Составим уравнение равновесия элемента в виде суммы проекций на ось у всех действующих на него сил (рис. 13.7):



Здесь второе слагаемое представляет собой величину высшего порядка малости; отбрасывая его, получаем





Итак, первая производная от. поперечной i силы по абсциссе сечения равна интенсивно распределенной нагрузки, перпендикулярной к оси балки.

Составим теперь уравнение равновесия элемента в виде суммы моментов действующих на него сил относительно точки К (рис. 13.7):

Отбросив бесконечно малые величины высших (второго и третьего) порядков, получим:



Таким образом, первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского.

Зависимости (5.7) и (6.7) действительны, когда абсцисса поперечного сечения возрастает от левого конца балки к правому. Если, наоборот, абсцисса х возрастает от правого конца балки к левому, то в правых частях формул (5.7) и (6.7) перед q и Q должен стоять знак «минус».



Из курса высшей математики известен геометрический смысл первой производной при любом значении аргумента она равна тангенсу угла а между касательной к кривой (в точке с координатами и положительным направлением оси Положительные и отрицательные значения угла а показаны на рис. 14.7, а.

Если первая производная (а следовательно, и угол а) положительна, то функция возрастает (точка на рис. 14.7, а), а если она отрицательна, - то убывает (точка на рис. 14.7, а). Экстремум (максимум или минимум) функции имеется при тех значениях при которых производная равна нулю и, следовательно, угол а также равен нулю, т. е. касательная к кривой параллельна оси (точка К на рис. 14.7, а).

Используя изложенные зависимости между функцией и ее первой производной, из теоремы Журавского можно сделать ряд важных выводов:

1. Тангенс угла между касательной к линии, ограничивающей эпюру М, и осью эпюры равен поперечной силе Q (рис. 14.7, б, в), т. е.

Так, например, тангенс отрицательного угла а (рис. 10.7, в) на участке II балки, изображенной на рис. 10.7, а, имеет значение т. е. равен поперечной силе Q на этом участке (рис. 10.7, б). На участках III и IV этой же балки поперечные силы Q одинаковы и равны (см. рис. 10.7, б). В соответствии с этим прямые на рис. 10.7, в параллельны друг другу; тангенс угла их наклона к оси эпюры равен

2. На участках балки, на которых поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает (слева направо), а на участках, на которых она отрицательна, - убывает.

Для примера на рис. 15.7, а изображены четыре эпюры Q, а под каждой из них на рис. 15.7, б, два из возможных вариантов эпюры М. Первым двум эпюрам Q (с положительными ординатами) соответствуют эпюры М с возрастающими (слева направо) ординатами, т. е. с положительными углами Последним двум эпюрам Q (с отрицательными ординатами) соответствуют эпюры М с убывающими (слева направо) ординатами, т. е. с отрицательными углами Этот же вывод можно проиллюстрировать эпюрами Q и М, изображенными на рис. 10.7: на участке II балки поперечная сила отрицательна, а на участке III - положительна (см. рис. 10.7, б); в соответствии с этим на участке II изгибающие моменты убывают (в алгебраическом смысле), а на участке - возрастают (см. рис. 10.7, в).

3. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы Q, тем круче линия, ограничивающая эпюру М. Этот вывод непосредственно вытекает из зависимости (7.7). В соответствии с данным выводом линии, ограничивающие эпюры М (рис. 15.7, б, в), круче в точках чем в точках а, так как поперечные силы больше по абсолютной величине, чем Линии, ограничивающие эпюры М, не могут иметь очертаний, показанных на рис. 15.7, б, в пунктиром, так как они тогда были бы круче в точках а, чем в точках b, что невозможно при поперечных силах меньших (по абсолютной величине) Такую же зависимость между эпюрами Q и М можно проследить и на рис. 10.7 и 11.7.

На основании рис. 15.7 можно сделать вывод о том, что на участке балки с возрастающими (в алгебраическом смысле) слева направо значениями Q линия, ограничивающая эпюру М, обращена выпуклостью вниз, а с убывающими - выпуклостью вверх.

4. На участке балки, на котором поперечная сила имеет постоянное значение, эпюра М ограничена прямой линией (см., например, на рис. 10.7 эпюры Q и М на участках III и IV балки). При эта линия наклонена к оси эпюры М под некоторым углом (где - см. вывод 1), а при она параллельна оси эпюры.

(см. скан)

В последнем случае соответствующий участок балки находится в состоянии чистого изгиба.

5. Если на границе соседних участков балки эпюра Q не имеет скачка, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются без перелома, т. е. имеют в точке сопряжения общую касательную.

На рис. 16.7, а показаны две эпюры Q, не имеющие скачков на границах соседних участков (в сечениях А). На рис. 16.7, б сплошными линиями изображены правильные сопряжения линий, ограничивающих эпюры М (без переломов в точках а), а пунктирными линиями - неправильные варианты сопряжения.

6. Если на границе соседних участков балки в эпюре Q имеется скачок, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются с переломом, т. е. не имеют в точке сопряжения общей касательной.

На рис. 17.7, а показаны три эпюры Q, имеющие скачки на границах соседних участков (в сечениях А), а на рис. 17.7,б - соответствующие им сопряжения линий, ограничивающих эпюры переломами в точках а.

7. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях балки, в которых поперечная сила равна нулю; касательная к линии, ограничивающей эпюру М, в этом сечении параллельна оси эпюры.